Textaufgabe Flächen

[robi]

Hallo,
ich habe eine für mich unlösbare Aufgabe an der ich mit seit Stunden die Zähne ausbeise. Hier mal die Aufgabe:

Es liegt ein Dreieck mit der Seitenlänge a und der darauf senkrecht stehenden Höhe h vor.
Wenna um 2 cm und h um 4 cm verlängert werden, vergrößert sich der Flächeninhalt um 45 cm.
Wird stattdessen a um 2 cm verkürzt und h um 8 cm verlängert, dann vergrößert sich A um 35 cm.
Wie lang sind a und h?
Lösung: a=14 und h=13 cm.

Kann das irgendjemand lösen? Ich habe keine Ahnung wie das gehen soll.
Bitte helft mir!!

[Aussie_Flo]

Wenn a um 2 cm und h um 4 cm verlängert werden, vergrößert sich der Flächeninhalt um 45 cm.

<=> 0,5*(a+2) * (h+4) = (0,5a*h) + 45

Wird stattdessen a um 2 cm verkürzt und h um 8 cm verlängert, dann vergrößert sich A um 35 cm.

<=> 0,5*(a-2) * ( h+8 ) = (0,5a*h) + 35

OK, jetzt die 1. Gleichung ausmultiplizieren, zusammenfassen und umstellen:

I. 0,5ah + 2a + h + 4 = 0,5ah + 45
<=> h = -2a + 41

Das setzt man jetzt für "h" in der II. Gleichung ein.

II. 0,5ah + 4a - h - 8 = 0,5ah + 35
<=> 4a = h + 43 (jetzt h ersetzen)
<=> 4a = -2a + 41 + 43
<=> 6a = 84
<=> a = 14

Jetzt a in irgendeiner Gleichung ersetzen und nach h auflösen:
h = -2*14 + 41
<=> h = -28 + 41
<=> h = 13

Danke an robi für die Feinkorrektur!

Die Gleichungen basieren auf der Flächenformel für Dreiecke, bei denen die Höhe h genau auf der Hälfte der Seite a beginnt.
Die Gleichung lautet: A = 0,5a * h

[Caro]

Du hast drei Gleichungen: (f entspricht dem Flächeninhalt)
g1: 1/2*a*h = f
g2: 1/2*(a+2)*(h+4) = f+45
g3: 1/2*(a-2)*(h+8 ) = f+35

Nun löst du das GLS mit drei Variablen auf: (ich nehme alles *2, damit mir das 1/2 wegfällt, sieht sympathischer aus^^) es folgt:
g1: ah = 2f
g2: (a+2)*(h+4) = 2f+90
g3: (a-2)*(h+8 ) = 2f+70

Nun löst du g2 und g3 nach 2f auf und setzt diese beiden gleich:

(a+2)*(h+4)-90 = (a-2)*(h+8 )-70

Nun multiplizierst du beide Seiten aus und löst die Gleichung nach a (oder h) auf:
ah+4a+2h+8-90 = ah+8a-2h-16-70
a = h+1

Dieses Ergebnis setzt du nun in g1 ein. g1 soltest du ebenfalls nach 2f auflösen und dann mit g2 (auch nach 2f) gleichsetzten:
(h+1)*h = ((h+1)+2)*(h+4)-90

Dies lässt sich nun leicht nach h auflösen:
h = 13

Das setzt du nun in dein erstes Ergebnis ein (a = h+1) und rauskommt:
a = 14

Hoffe ich konnte dir helfen und habe es nicht zu kompliziert erklärt
_________________
BU --> 06 + 07 Juli 2010
Abi 2010 --> in progress...
Boardtreffen Frankfurt --> 27.06.09
SWISS Infotag Zürich --> 20.08.08
LH Infotag Bremen --> 25.04.08

[robi]

Super Leute,

dankeschön!!!

@Aussie_Flo: Das klappt auch bei dir, du hast nur beim in die 2. Gleichung einsetzen statt 43 die 35 hingeschrieben.

Also nochmal danke, ich hätte das wahrscheinlich nie gelöst.

[robi]

Könnt ihr mir vielleicht noch bei der Aufgabe helfen, da steh ich schon wieder auf dem Schlauch.
Danach ist auch Schluss mit Fragen

Ein Auto fährt von einer Stadt in eine andere.
Die erste Hälfte der Strecke mit 200 und die 2. Hälfte mit 150 km/h.
Insgesamt benötigt es 4:40 h.
Wie weit sind die Städte von einander entfernt?
Lösung 800km.

[AI-FO-Capt]

OK jetzt kann ich mal was zurück geben...

Da er die erste Hälfte mit 200 km/h fährt und die zweite mit 150 km/h, benötigt er für die zweite Hälfte länger. Jetzt legt man die Zeitberechnung fest.
Danach ist t1=3/4*t2
t=t1+t2
t=3/4*t2+t2
280min=7/4*t2
t2=160min
t1=120min

s=v*t
s=200*2h + 150*8/3h
s=400 + 400
s=800km

Hoffe ist verständlich
_________________
Swiss Stufe 1 -> 28.08.09
Swiss Stufe 2 -> 15.09.09
Swiss Stufe 3 -> 29./30.09.
Medical -> completed
Swiss Stufe 4 -> 18.01.2010 passed
SAT+Englisch -> 19.01.2010 passed
board 26.01.2010

[robi]

Das ist verständlich.
Vielen Dank!!!

[Targut]

Ist vielleicht ne dumme Frage ,aber wie kommt man an dieses Zeitverhältnis:
t1=3/4*t2 ?

mfg
Targut

[eX_Almeida]

eigentlich müsste das zeitverhältnis ganz korrekt t1*0,75 = t2 lauten, und t=t1 + t1*0,75 ist in dem fall aber wurscht

auf das verhältnis kommt man so: 150 sind 75% von 200

hier sieht man es ohne viel rechnen, aber wenns mal kompliziertere zahlen als angabe gibt geht man so vor: t1/100 ausrechnen, dann t2 durch das ergebnis dividieren. was hier rauskommt gibt an mit wieviel prozent -prozent in dezimal umrechnen nicht vergessen - man t1 multiplizieren muss um auf t2 zu kommen.

kompletter rechenweg:
200/100 = 2
150/2 = 75
75/100 = 0,75
--> t1*0,75=t2

hoffe es war verständlich
_________________
Swiss 1: 25.11.09: checked
Swiss 2: 03.12.09: checked
Swiss 3: 05/06.01.10: checked
Swiss 4: Medical in progress
Swiss 5: done
Fachtests: checked
Board: 23.02.10: negativ

[Targut]

Ah ,okay vielen dank

mfg
Targut