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reik
Captain
Anmeldungsdatum: 25.03.2007
Beiträge: 112
Wohnort: Berlin
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 Verfasst am: Do Jun 03, 2010 1:08 am Titel: |
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So richtig beantwortet seh ich deine Frage hier leider noch nicht.
| Zitat: | | Ansonsten muss man einfach die Formel s(t)= 0,5 * a * t² kennen oder sich bei nicht gleichmäßig beschleunigten Bewegungen der Analysis (Integration und Ableitung) bedienen. |
War auf jedenfall die beste Antwort darauf!
Die Fläche unter dem Dreieck ist genau für diesen Fall natürlich richtig und anwendbar (nur weil a(t) gilt und diese konstant ist und die Geschwindigkeitszunahme linear ist), aber deine Frage nach dem Ursprung des 1/2 ist absolut berechtigt.
Das 1/2 entsteht durch die Integration von a(t)=a_0=const. und ist für diesen Fall wie folgt zu ermitteln (bedenke das dx/dt=dv/dt=a):
dv=a_0*dt (integrieren für dv von der Anfangsgeschwindigkeit v_0=0 bis v, die Beschleunigung ist eine Konstante und hängt nicht von der Zeit t ab es bleibt also nur dt von t_0=0 bis t zu integrieren)
für den Ort folgt dann
dx=v*dt=a_0*t*dt (integrieren von x_0=0 bis x und t*dt von t_0=0 bis t integrieren)
x=1/2*a_0*t^2
Das 1/2 folgt also aus der Integration von t*dt aber in diesem ganz speziellen Fall der konstanten Beschleunigung (gilt auch für freien Fall ohne Luftwiderstand) ist der Geschwindigkeitsanstieg linear und der zurückgelegte Weg ist als schöne Dreiecksfläche unter dem Graphen ganz konkret zu ermitteln.
Deine Methode mit den Streifen ist übrigens tatsächlich die Art und Weise wie man angefangen hat solche Probleme zu lösen bevor der Fundamentalsatz der Analysis formuliert wurde. Für reale Probleme (also wo keine konstruierten Rechenaufgaben bearbeitet werden und Funktionen nicht mehr so schön schmerzfrei sind, beispielsweise keine Stammfunktionen existieren bzw. nicht als elementare Funktionen darstellbar sind) bleibt oft auch nichts anderes übrig, als Probleme so zu lösen wie du es vereinfacht versucht hast (Riemannsche Integrale). Um dir zu zeigen das dein Gedankengang stimmt, hier mal deine Rechnung etwas korrigiert.
Die Geschwindigkeit steigt linear mit 5/2=2,5 an. (Das ist die Beschleunigung mit 5/2 m/s^2) Unterteilst du dein Zeitintervall nicht in 10 Teile sondern in n-Teile, dann lässt sich deine Summe wie folgt schreiben (b/n ist dabei dein Zeitintervall b=10s geteilt durch n-Teile und es wird jeweils die Fläche des Rechtecks aufsummiert in der Form Grundseite*Funktionswert also b*f(b)+b*(2b)+b*f(3b)...+b*f(nb))
b/n*(5/2*b/n)+b/n(5/2*2b/n)+b/n(5/2*3b/n) ... b/n(5/2*n*b/n)
=5/2*b^2/n^2*(1+2+3+ ... +n)
dann der Klassiker der Summen  (siehe wiki: Gaußsche Summenformel)
=5/2*b^2/n^2*n(n+1)/2
=5/4*b^2* (n^2/n^2 + n/n^2)
=5/4*b^2* (1+1/n)
Wenn du jetzt die Teile b/n unendlich klein werden lässt, die Anzahl der Streifen also unendlich wird, dann ist der Grenzwert der Folge 1/n=0
=5/4*b^2
Wenn du jetzt für b deine 10s einsetzt bekommst du
=125m.
Dein Weg führt also in konsequenter Durchführung ebenfalls zum Ziel! Der Funktioniert auch noch wenn der Geschwindigkeitsanstieg quadratisch oder kubisch ist, aber natürlich wird man nicht immer den Aufwand der Streifen betreiben, weil wir ja mittlerweile wissen wie leicht sich Stammfunktionen und Ableitungen ermitteln lassen (vorausgesetzt die Funktion besitzt sowas), was übrigens alles andere als selbstverständlich ist.
Grüße |
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Roman1989
Captain
Anmeldungsdatum: 22.12.2008
Beiträge: 254
Wohnort: Saarbrücken
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| Verfasst am: Do Jun 03, 2010 12:06 pm Titel: |
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Leute, ich hab keine Ahnung wer sich bei dieser Aufgabe diesen Integral und Dreiecks-Unsinn ausgedacht hat!
Manche Leute verwirrt das nur noch mehr.
Es gibt nur eins: Weg = 0.5 * a * t²
Einsetzen und fertig: Weg = 0.5 * 2.5 m/s² * (10 sek)² = 125m oder 1/8km
Wenn man halt die Geschwindigkeit nicht in m/s hat, na dann formt man sie halt in m/s um! Geht ganz einfach: _____km/h / 3.6 = _____m/s
Also 90 km/h / 3.6 = 25 m/s -> Auf 25 m/s wird in 10 sek beschleunigt also ist a = 2.5 m/s² |
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Aussie_Flo
Gast
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| Verfasst am: Do Jun 03, 2010 1:08 pm Titel: |
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Ähm, Roman: Wie gut, dass du blind genug bist, einfach Formeln blindlings auswendig zu lernen und nicht zu verstehen, weshalb die Formeln so sind, wie sie sind.
Und die Formel s(t)=0.5at² ist die verallgemeinerte Integralfunktion, um den Weg auszurechnen, wenn Zeit und Beschleunigung bekannt sind...  |
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reik
Captain
Anmeldungsdatum: 25.03.2007
Beiträge: 112
Wohnort: Berlin
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| Verfasst am: Do Jun 03, 2010 1:19 pm Titel: |
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| @Roman1989 Es wurde gefragt warum das so ist. In die passende Formel Zahlen einzusetzen kann ich einem Affen beibringen. Mit stumpfen Anwenden bekommt man vielleicht noch ein Abitur aber danach muss man dann leider doch anfangen nachzudenken. |
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Roman1989
Captain
Anmeldungsdatum: 22.12.2008
Beiträge: 254
Wohnort: Saarbrücken
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| Verfasst am: Do Jun 03, 2010 2:30 pm Titel: |
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Nur nicht so voreilig - Ich hab das Buch Denksport Physik auch und weiß was die Aufgabe fordert. Das einzige was die Aufgabe will, ist den Weg zu berechnen und nicht noch die Herleitung der Formel, mit der man den Weg berechnet. Im Übrigen lerne ich Formeln auch nicht einfach auswendig, ich weiß auch, dass das über die Integration der Formel v(t) = a * t geht.
Aber bei einer Aufgabe wie Berechnen Sie die Energie einer ruhenden Masse von 1 kg. würde man doch auch nicht fragen warum E = m * c² ist. Könnte man zwar, aber ob das für die Aufgabe helfen würde?... |
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Aussie_Flo
Gast
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| Verfasst am: Do Jun 03, 2010 2:54 pm Titel: |
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| Derjenige, der den Thread erstellt hat, hat nach Erklärungen und Herleitungen gefragt, und die hat er bekommen. Wenn er den vermeintlich logischeren oder einfacheren Weg nicht versteht, dann muss man halt die alternativen, vielleicht schwierigeren Herangehensweisen ausgraben... |
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