Effektive und schnelle Berechnung der Halbwertszeit

[Driftminister]

Hallo Leute, bin beim Lesen von alten Physik Schulbüchern auf ein kleine Fragestellung gestossen wo ich einfach nicht auf eine EINFACHE und effektive Lösung komme.

Folgendes als Beispiel:

Der radiaktive Stoff Iod-131 besitzt eine Halbwertszeit von 8 Tagen.
Das heisst wie wir alle wissen dass sich die radioaktive Menge in dieser Zeit halbiert hat.

Soweit so gut.

Aufgabe: Berechne die Zeit, nach der die Aktivität von Iod-131 auf weniger als 1/1000 abgesunken ist!


Ich will jetzt absichtlich nicht meine Lösungsvorschläge einbringen, weil ich gespannt bin wie ihr diese Aufgabe lösen werdet. Ich kann nur sagen dass meine Berechnung viel zu umständlich ist und es bestimmt einen einfachen Weg gibt der mir einfach nicht einfällt.

[Indiana_j]

Schnellschuss.
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Life is too important to be taken seriously. (Oscar Wilde)

[Romeo.Mike]

Moin,

bei der Halbwertszeit wirst du beim DLR immer einfach zu rechnende Aufgaben bekommen und wenn du sowas wie 1/1000 zu stehen hast, dann kannst du auch 1024 draus machen.

Bei der Halbwertszeit ist ja das Verhältnis 2^-x wobei das x für die Anzahl der Male steht, wie oft sich der Vorgang wiederholen muss.

also am Anfang hast du ja die Gesammte Menge. Der Anfang ist 0, es ist ja noch keine Zeit vergangen, ergo:

2^-0 = 1 -> Aussage stimmt.

nach 8 Tagen, also einer Halbierung sieht es so aus:

2^-1 = 1/2 -> Aussage stimmt.

nun wissen wir dass 1024 = 2^10 ist.

Daraus folgt

2^-10 = 1/1024

jetzt musst du nur noch die 8 Tage mit dem Faktor x, in dem Fall 10, multiplizieren und du hast das Ergebnis ~80 Tage.


Gruß

Romeo Mike

[Spacefish]

Mathematisch exakt, wenn auch in der BU nicht durchführbar:

Zerfallsgesetz:

N(t) = N0 * e^(-(lambda)*t)
oder auch
N(t)/N0 = e^(-(lambda)*t)

mit
(lambda): Zerfallskonstante
t: Zeit [t]= 1d (1 Tag)
N0: ursprüngliche Stoffmenge
N(t): Steoffmenge nach Zeit t

Nach Ablauf der einfachen Halbwertzeit ist N(t)/N0 = 0,5

0,5 = e^(-(lambda)*8d)
ln 0,5 = -(lambda)*8d*ln(e^1) = -(lambda)*8d
(lambda) = -ln(0,5)/8d = 1*10^(-6)/s hier braucht man nen Taschenrechner
dann setzte das ganze wieder in das Zerfallsgesetz ein. Jetzt ist N(t)/N0 1/1000

1/1000 = e^(-10^(-6)/s*t)
Und dasselbe Spiel von vorne:
ln(0,001) = -10^(-6)/s*t
t = -ln(0,001)*10^6 s = 6907755 s = 80 d

Also ist das ganze nach 80 Tagen auf ein Tausendstel reduziert.

So und wir stellen fest: der RM hat recht hehe. Aber zum Verständnis warum der RM recht hat ist es schon ganz sinnvoll, erstmal das Zerfallsgesetz zu verstehen und damit rechnen zu können. Darum hoffe ich, Ihr werdet mich für den scheinbar sinnlosen Beitrag nicht fertigmachen.

[Driftminister]

Muss schon sagen ihr seit echt auf Zack. Auf das wär ich auch nicht gekommen.

Die fette Formel ist für mich ja noch gut verständlich, aber wie du bereits erwähnt hast bei der BU nicht anwendbar.

Die Version von Romeo Mike ist schon recht effektiv, nur hab ich keine Ahnung wie ich das herleiten könnte. Vielleicht kannst du das noch schnell erklären...

Auch wenn ich hier etwas begriffsstützig bin, will ich es doch verstehen

[Romeo.Mike]

Moin,

die Formel kann man sich so herleiten.

Halbwertszeit besagt ja dass man nach der Zeit X die Hälte des Stoffes hat. Wenn man wieder die besagte Zeit X abwartet, hat man die Hälfte der Hälfte, also 1/2 * 1/2 = 2^-2 = 1/4. Wenn man jetzt wieder die Zeit X Abwartet hat man ja die Hälfte der Hälfte und davon die Hälfte, also die Hälfte von 1/4 -> 1/4 * 1/2 = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 2^-3 = 1/8.
Das Ganze jetzt noch mal durchlaufen lassen hast du 1/8 * 1/2 = 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 2^-4 = 1/16.

Es folgen 1/32; 1/64; 1/128; 1/256; 1/512; 1/1024; 1/2048...

Daran kann man erkennen dass es 2^-x ist.

Ich hoffe das war halbwegs verständlich, wenn nicht versuch ich noch mal irgendwie das anders zu erklären, auch wenn ich grad nicht wüßte wie ich es anderes erklären kann.


Gruß

Romeo Mike

[vogelmann]

Würde es auch mit dem Zerfallsgesetz (Reaktion 1. Ordnung) machen, das geht am schnellsten. Einfach einsetzen, logarithmieren und umformen nach k (bzw lambda bei sapcefish).

Also wie Spacefish das geschrieben hat

mal anschaulicher:
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BU+FQ ja, Pilot nein!

[Driftminister]

Super, jetzt hab ich es endlich begriffen. Ist eh nicht so schwierig. Wahrscheinlich denk ich zu kompliziert....

Jetzt wäre das mit der Halbwertszeit gelöst. Jedoch bin ich noch auf eine etwas andere Art von Aufgabenstellung gestossen:

Die Vorgeschichte:
Diesmal geht es um die Altersbestimmung mit dem radioaktivem Kohlenstoff C-14. Das Alter eines "toten" (bedeutet sich nicht mehr regenerierenden Stoffes) kann durch den noch vorhandenen und noch nicht abgebauten Anteil von C-14 gegenüber dem unverändert bleibenden normalen Kohlenstoff bestimmt werden.

Aufgabe:
Ein Archäologe findet in den Resten einer Feuerstelle einige Stückchen verkohltes Holz. Bei einem frischen Holz finden in 1g Kohlenstoff 12 Zerfallsprozesse pro Minute statt. In 1g Kohloenstoff der Fundstücke finden nur mehr drei Zerfallsprozesse pro Minute statt. Überlege, aus welcher Periode der Menschheitsgeschichte der Fund stammt!

Für die Berechnung habe ich mir die Halbwertszeit von C-14 rausgesucht. Diese beträgt 5730 Jahre.

[Spacefish]

Im Prinzip genauso. Wenn nach der ganzen Zeit statt 12 nur noch 3 Zerfallsprozesse stattfinden, kann man wohl davon ausgehen, dass nur noch 3/12, also 1/4 der Stoffmenge an C14 übrig ist. Denn das Zeug verhält sich ja nach jahrtausendelangem Zerfall nicht anders, es ist nur weniger übrig.
Aber zunächst brauchen wir wieder die Zerfallskonstante. Ärgert mich, dass überall nur die Halbwertzeit angegeben ist, so muss man k (ich nenne es der Einfachheit halber jetzt auch mal k) erst berechnen.

also nach 5730a sind 1/2 des C14 noch übrig:

-ln(0,5)/5730a = k Wie ich darauf komme sollte jetzt schon klar sein, guckst Du mein letzter Post.
also haben wir k = 1,21*10^(-4)/a

In unserer Probe sind nur noch 1/4 altiv, 1/4 = 2^-2. Nach RM's einfacher Methode könnte man also feststellen, dass wohl genau die doppelte Halbwertzeit vergangen sein wird, 11460 Jahre.

Und das Zerfallsgesetz wird das bestätigen:
0,25 = e^(-k*t) K ist bekannt. setze ein und stelle um:
-ln(0.25)*5730a /ln(0,5) = t und siehe da:
t = 2*5730a = 11460a

Also hat die Probe ein Radiocarbonalter von rund 11000 Jahren. Eine Genauere Angabe macht keinen Sinn, da schon die Ausgangswerte sehr stark gerundet waren (3 und 12).

Witzigerweise ist die Probe aber viel älter, denn bedingt durch äußere, mit der Zeit veränderlichen Einflüsse muss das Ergebnis nachkalibriert werden. Leider deckt die Kalibrationskurve bei Wikipedia nur die letzten 12000 Kalenderjahre ab, daher kann ich das Alter der 11460 Jahre B.P. Probe daraus nur extrapolieren und man kommt auf etwa 14000 Jahre.
Alternativ kann man das auch direkt berechnen, aber das wird jetzt echt zu viel und dazu fehlen uns auch Informationen.
Dazu sei Dir der Artikel bei Wikipedia an's Herz gelegt.
http://de.wikipedia.org/wiki/C14