Definitionsbereich

[triple7]

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein?
Gegeben ist Wurzel aus (x² - 3x + 2)
Wie ist der größtmögliche Definitionsbereich an reellen Zahlen?

Danke!
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"Graf Zeppelin war der erste, der nach verschiedenen Richtungen schiffte."
aus einem Kinderaufsatz

[Spacefish]

Ich geh mal davon aus, dass das ne Funktion sein soll.
Dann weißt Du, dass im Bereich der reellen Zahlen das Radizieren von negativen Zahlen nicht definiert ist. Also schaust Du, wann g(x) = x² - 3x + 2 negativ wird.
Dazu ist es sinnvoll, die Nullstellen dieser Teilfunktion zu finden: 0 = x² - 3x + 2. Mit p-q-Formel bekomm ich da -1,75 und -1,25 für x raus. Da es sich um ein Polynom zweiten Grades handelt berührt die Kurve die x-Achse auch nur 2mal. Nun kann man anhand der Ableitung in den Punkten bestimmen, ob die Funktion da monoton steigend oder fallend ist. Da wir aber wissen, dass nur diese beiden Nullstellen existieren und man außerdem schnell ausrechnen kann, dass g(-1,5) = 8,75, also g(x) im Bereich zwischen beiden Nullstellen positiv ist, kann man sich das sparen (soll ja auch schnell gehen).
Folgerichtig ist g(x) dann im Bereich außerhalb dieser Grenzen negativ und damit ist f für diese Werte nicht definiert.
Also: D: [-1,75;-1,25] oder so.

Hoffe ich hab mich nicht vertan.

[Butterfly]

halloele
also spacefish, du hast dich glaub ich irgendwie bei den nullstellen vertan. Wenn ich 0= x^2 -3x +2 ausrechne kommt da 2 und 1 raus.
Aber wie schon gesagt darf die Wurzelfunktion nicht negativ werden und deswegen duerfen Zahlen zwischen 2 und 1 ned eingesetzt werden.
Also D = R \{ 1<x<2}.

[Spacefish]

Argh, Du hast natürlich völlig recht. Erstens hab ich bei -p/2 das doppelte Minus nicht beachtet und dann noch die Wurzel nicht gezogen. Jetzt weiß ich acuh was R/M mir per ICQ mitteilen wollte. ^^

[triple7]

Danke für die Erklärungen! So langsam kommts bei mir wieder (das Abiwissen ). Gibts da einen Trick, wie man die Nullstellen ganz schnell berechnen kann (in der Schule haben wir das immer mit dem Taschenrechner gemacht ) oder muss man da einfach Zahlen einsetzen und ausprobieren?
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"Graf Zeppelin war der erste, der nach verschiedenen Richtungen schiffte."
aus einem Kinderaufsatz

[Spacefish]

Kein Trick, aber nen Lösungsweg. Du hast ne quadratische Gleichung. In der Form 0 = x² + px + q. Mit der p-q-Formel kannst Du dann einfach die beiden möglichen Nullstellen berechnen. Oder Du findest eine quadratische Ergänzung und verwendest eine binomische Formel um das ganze in die Form 0 = (x + a)² + b zu bringen. Irgendwie so war das, erinner mich aber kaum dran, weil die erste Methode einfacher ist und daher bevorzugt verwendet wurde. Schau mal im Tafelwerk nach ob da was von der Formel drinsteht, die lässt sich hier schlecht darstellen.
x1,2 = - p/2 ± wurzel ( p²/4 - q)

[BalticChiller]

Da gabs doch den satz von vieta aber keine ahnung wie der war...
Glaub aber net dass man bei der BU nullstellen errechnen muss oder?

[PanAm727]

Das kann nicht euer Ernst sein, das kommt doch nicht wirklich vor oder?

[xDanielx19]

Moin,

denke auch nich, dass das dran kommt, aber....
habe Nullstellen immer wie folgt berechnet:

1.Wie schon gesagt wurde: pq-Formel bei Gleichungen der Form x²+px+q=0

2. Ausklammern bei Gleichungen der Form x²+3x+4x=0

und wenn nichts von den beiden Lösungsmöglichkeiten geht, wie z.B. bei Gleichungen der Form x³-4x²+3x+2=0
kann man eine mögliche NS "raten" (hier: x=2) und dann in Form von (x³-4x²+3x+2) : (x-2)=... die Polynomdivision durchführen!

Das Ergebnis der P.division müsste eine Gleichung der Form x²+px+q sein und dann wieder pq-Formel!

Aber wie gesagt, ich denke dass das NS ausrechnen in so einem Umfang niemals drankommen wird!

In dem Sinne,

gruß

xDanielx

P.S. hoffe ich hab euch nich zu sehr vollgetextet !

[M.B.]

Also eigenlich ist es doch bei Polynomen, die man ohne Taschenrechner rechnen sollte meist so, dass die Nullstellen ganze Zahlen sind, oft so zwischen -4 und +4, die man schnell mit Ausprobieren gefunden hat... dabei hilft dann meist das Horner Schema

[triple7]

[LHDaniel]

Wenn die Aufgabe allzu schwer ist und man somit einen Taschenrechner braucht, kann sie eigentlich nicht dran kommen.
Die Nullstellen sind meist im Bereich um 0.

Aber Nullstellen sollte ja vom Prinzip her kein Beinbruch sein, p-q und a-b-c-Formel helfen ja genug.

Wir haben gerade eine Arbeit über den ganzen kurvendiskussionskram geschrieben .

Gruß Daniel
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When once you have tasted flight you will always walk the earth with you eyes turned skywards. For there you have been and there you will always be.