Frage zum Massenträgheitsmoment

[charlietango]

Moin

Wenn man eine große und eine kleine Kugel mit gleicher Masse ein Ebene runterrollen lässt, kommt ja die kleine Kugel aufgrund des geringeren massenträgheitsmomentes ehr an.
Wie ist das denn, wenn man zwei gleich große Kugeln mit unterschiedlicher Masse runterrrollen lässt.
Die Kugel mit der geringeren Masse hat doch einen klineren Massenträgheitsmometundkommt ehr an oder?

Schonmal Danke
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IC E611

[Schienenschreck]

m höher -> J höher -> fängt nicht so schnell an zu rollen.
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...mit Lizenz zum Fliegen
Pilotenboard Wiki

[charlietango]

jo so dachte ich das auch , habe aber von mehreren gehört, dass die schwerere aufgrund der gravitationskraft ehr unten ankommt
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IC E611

[Schienenschreck]

Glauben die auch, schwere Körper fallen schneller?

m g h = 0.5 m v^2 -> v = sqrt(2gh) -> nix mit Masse.
(der Einfachheit halber J = 0)

Sonst: m g h = (0.5 m v^2) + (0.4 m r^2)

Und auch dann keine Masse:

[reik]

Habe es dir mal für deine konkrete Frage ausgerechnet.





1) Die Änderung der Bewegung einer Masse ist gleich der Summe der angreifenden externen Kräfte. Das ist bei einer zeitlich unabhängigen Masse das bekannte Masse*Beschleunigung=Kraft und bei Kraftsystemen entspricht dies eben der Summe aller externen Kräfte (das fällt natürlich nicht vom Himmel sondern lässt sich beweisen).

2) Die zeitliche Änderung des Drehimpules ist gleich der Summe der externen Momente. (Belese dich bitte selbstständig dazu auf Wikipedia bzw. es gibt ein ausgezeichnetes Skript der RWTH Aachen http://venus.iam.rwth-aachen.de/Lehre/Umdrucke/umdrucke.html , je nachdem wie groß das Interesse daran ist und wie fortgeschritten deine mathematischen Vorkenntnisse.)

3) Kinematische Beziehung, welche aus der Bedingung entsteht, dass die Schiefe Ebene reibungsbehaftet ist und damit an der Kontaktstelle Kugel-Ebene reines Rollen stattfindet. Der Weg den der Schwerpunkt zurücklegt ist proportional zum Radius und der Winkelgeschwindigkeit der Kugel. (In der Gleichung bereits 2 mal nach der Zeit abgeleitet um die Beschleunigung zu ermitteln)

4) Gleichung (2) nach der Haftreibung umstellen und in (1) einsetzen das Trägheitsmoment (6) einsetzen und (7)-(9) die Beschleunigung isolieren.

An der Gleichung (9) siehst du, dass die Beschleunigung der Kugel allein von der Neigung der Ebene abhängt und unabhängig von der Größe, der Kontaktfläche und dem Gewicht ist.

Sowas musst du auf keinen Fall rechnen können für die BU, jedoch sollte dir bekannt sein, dass die Fallbeschleunigung unabhängig vom Gewicht ist (siehe Schienenschreck). Siehe auch folgendes Video der NASA vom Mond: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Apollo_15_feather_and_hammer_drop.ogg .

[LH3591]

Kann das nur alles unterschreiben was ueber mir bereits steht!

Noch einfacher (und anschaulicher) gehts allerdings wenn man nicht streng nach der hamiltonschen Notation vorgeht wie im Posting drueber.

Die Pruefung ist bei mir jetzt leider doch schon drei Jahre her, ich bin mir aber 100% sicher dass es in den hinteren Kapitel vom Demtroeder 1 (der eine echte Katastrophe fuer alle ist die mit Mathe Probleme haben und wert auf Didaktik legen ) ist!

Hier ist zB nochmal das Gleiche geloest mit einfacherer Notation:
http://me-lrt.de/a44-rollen-schiefe-ebene-tragheitsmoment-kugel-zylinder

[charlietango]

Danke euch
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IC E611