hilfe bei mathe

[massi]

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-1/4x²+4 ; xER. Ihr Schaubild sei K.
Die Tangente im Kurvenpunkt P(a/f(a)) mit 0<a<4 bildet zusammen mit der x- und der y-Achse ein Dreieck. Bestimme a so, dass der Inhalt des Dreiecks MINIMAl wird. Wie groß ist dieser minimale Flächeninhalt?
Hat jemand ne Idee wie das geht???
danke im voraus

[hallo2]

du berechnest die Ableitung um die Steigung im Punkt a zu kennen.
Damit kannst du dann die Achsenabschnitte ausrechnen, also wo die Gerade x und y schneidet
X ist dann deine Grundseite des Dreiecks und y die Höhe

und von der Funktion bestimmst du dann das Minimum

[BambiBonecrusher]

versteh ich nicht, kanns nochmal wer ausfuehrlich aufschreiben?

[hallo2]

also:

f(x)=-1/4x^2+4
f'(x)= -1/2x

Steigung im Punkt a (also die Steigung der Tangente im Punkt a)
=-1/2a

jetzt kennen wir die Steigung der Geraden es fehlt uns noch der Achsenabschnitt

g(x)=-1/2a * x + b

b kann man jetzt ausrechnen durch den bekannten Punkt a

also
g(a)=f(a)=-1/2a^2+b

<=> -1/4a^2+4=-1/2a^2+b
<=> g(x)= -1/2a *x + 1/4a^2 +4

das ist jetzt die Gerade die unser Dreieck bildet
der X-Achsenabschnitt ist also die Grundseite des Dreiecks:

G=g(x)=0
<=> -1/2a*x + 1/4 a^2 +4 =0
<=> x= 1/2a + 8/a

der Y-Achsenabschnitt der Gerade ist die Höhe des Dreiecks

h= g(0) = 1/4a^2 + 4

die Fläche vom Dreieck ist also

A= 1/2 * G * h = 1/2* ( 1/2a + 8/a)(1/4 a^2+4)
=1/16 a^3 + 2a + 2a + 32/a = 1/16 a^3 +4a + 32/a

das ist die Gleichung für die wir jetzt noch das Minimum finden müssen

A'(a) = 3/16a^2 + 4 -32/a^2 = 0

<=> 3/16a^4 + 4a^2 -32 =0

Substituieren b=a^2

3/16b^2 +4b -32 =0
<=> b^2+ + 3/4 b = 6

b1,2 = -3/8 +- sqrt( 9/64 +32)

so hier stimmt irgendwas glaube ich nciht mehr aber habe keine Lust mehr ^^

[Schienenschreck]

(Edit: Disregard, die Hitze...)
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[BambiBonecrusher]

Ich hab jetzt a=3.59 mit Rundungen, als Flaecheninhalt kommt dann ca. 14,53 raus. Auf jeden Fall ne anspruchsvolle Aufgabe, deshalb alle Angaben ohne Gewehr :>

Danke fuer den Ansatz hallo, du hast dich glaub ich verrechnet als du die formel vom gesamten Dreieck zusammengerechnet hast, da kommt bei mir die haelfte raus.

[massi]

ich kenn jetzt die lösung. a muss 2,3 sein
danke aber für eure ansätze

[reik]

Edit: Habe mist geschrieben