Exponentielle Abnahme/ Wachstum

[Springbok]

Guten Morgen,

Ich beschäftige mich gerade ein bisschen mit Mathematik - auch wenn das Niveau höher als das der BU ist - und bin nun auf den Berich des exponentiellen Wachstums bzw. Abnehmens gestoßen.
Hier habe ich 4 Aufgaben sowie deren Lösungen, aber ich komme auf keinen sinnvollen detailierten Rechenweg für Laien (!)... ?(

Vielleicht kann mir hier ein Mathefreak von euch weiterhelfen...

1. Das kleine Fürstentum Binaco hatte 1960 gerade 870 000 Einwohner. 1980 waren es schon 1 Million Einwohner.
a)Um wieviel Prozent vergrößert sich die Einwohnerzahl jedes Jahr, wenn die jährliche prozentuale Zunahme stets gleich bleibt ?
b)In welchem Zeitabschnitt verdoppelt sich die Einwohnerzahl ?
c)Das noch kleinere Fürstentum Minaco hatte 1960 gerade 426 800 Einwohner. Die gleichbleibende jährliche Wachstumsrate beträgt hier 15 %. In welchem Jahr werden die beiden Fürstentümer gleich viele Einwohner haben ?

2. Birgit besitzt zwei Sparbücher. Auf Sparbuch 1 sind 2100 € zu 3,5% jährlich angelegt, auf Sparbuch 2 1900 € zu 4,5 %. Einzahlungen und Abhebungen erfolgen keine ,
a)Berechne das Guthaben auf Sparbuch 1 nach 7 Jahren.
b)Bei welchem Zinssatz würde sich das Guthaben auf Sparbuch 1 in 14 Jahren verdoppeln?
c)Nach wieviel Jahren ist das Guthaben auf Sparbuch 2 erstmals höher als auf Sparbuch.1?

3. An einem kalten Wintertag stellt Steffi einen frisch gekochten Pudding vor das Fenster zum Abkühlen. Sie hat die Temperatur des Puddings mit einem Thermometer zu 82°C bestimmt. Nach 36 Minuten hat sich der Pudding auf 41°C abgekühlt.. ( Gehe von exponentieller Temperaturabnahme aus.)
a)Welche Temperatur hat der Pudding nach einer Stunde vor dem Fenster ?
b)Wie lange muss Steffi warten, bis sich der Pudding auf 14°C abgekühlt hat ?
c)Die Schokoladensoße stellt Steffi 15 Minuten später als den Pudding vors Fenster. Beim Herausstellen hat diese Soße ebenfalls 82°C. Um das Abkühlen der Soße zu beschleunigen rührt Steffi immer wieder um und erreicht, dass die Soße schon nach 30 Minuten auf 41°C abgekühlt ist. Wie lange muss die Soße vor dem Fenster stehen, bis Pudding und Soße dieselbe Temperatur haben ?

4. Wenn Licht durch Glas hindurch geht, nimmt seine Intensität ab. Eine 1 cm dicke Glasplatte einer bestimmten Glassorte schwächt das Licht dabei um 5 % ab.
a)Um wieviel Prozent nimmt die Intensität ab, wenn es durch 20 cm Glas hindurchgeht ?
b)Wie dick ist eine Glasplatte, wenn sie die Lichtintensität auf 25 % reduziert ?
c)Anderes Glas der Dicke 8 cm schwächt um 38 % ab. Wieviel bedeutet dies für 1cm Glas ?


Lösungen:

1. a) 0,7% b) 100Jahre c) 5,36 Jahre
2. a) 2671,8€ b) 5,076 c) 10,4 Jahre
3. a) 25,8°C b) 92 min c) 90 min
4. a) 64,2% b) 27cm c)5,8%

Ich sag schon mal vielen Dank!

[musikus]

1a) 1.000.000 = 870.000 * x^20
x = 1,007
0,7%

1b) 1.740.000 = 870.000 * 0,7^x
x = 99,5
100 Jahre

1c) 870.000 * 1,007^x =426.000 * 1,15^x
x = 5,38

2a) 2.100*1,035^7 = 2671,79 €

2b) 4.200 = 2.100 *x^14
x = 1,05076
5,076%

2c) 2.100 * 1,035^x = 1.900 * 1,045^x
x = 10,4

3a) 82 * x^36 = 41
x = 0,981
82*0,981^60 = 25,83°C

3b) 82*0,981^x = 14
x = 91,8min

3c)82*x^30 = 41
x=0,978

82*0,981^x = 82*0,978^(x-15)
x = 90min

4a) 1-0,95^20 = 0,6415
64,15%

4b) 0,95^x = 0,25
x = 27cm

4c) x^8 = 1-0,38
x = 0,942

1-0,942 = 0,058
5,8%
_________________
BU:
FQ: 7./8. Juli
Medical: ...

ILST WS 2010/11

[Schienenschreck]

[Springbok]

Danke!
Zum Verständnis: x^20 ist x "hoch 20" ??

Ich blick ganz ehrlich nicht durch... Musikus zeigt mir so in etwa wie ich auf die Lösung komme aber z.B. bei 1a) etc. kapier ich nachwievor nicht wie ich auf das x komme.... und Schienenschrecks Ausführungen sind zu hoch für mich

[Schienenschreck]

[Springbok]

Ja... die Grafiken scheinen da nicht so hinzuhauen...

[Schienenschreck]

[FSCM-Pilot]

Bei der 1a musst du z.B. einfach mit dem logarithmus arbeiten...solltest du ja drauf haben oder?

[Schienenschreck]

[flyingLuce]

Also ist mit Zinsen eigentlich super einfach zu merken:

Da gilt immer Kapital *(1+Zinssatz)^Zeit = Kontostand


Du hast 100€ und bekommst 10% Zinsen(schön wärs;)) und willst wissen wann sich dein Kontostand verdoppelt hat:

100€*1.10^x=200€
1.10^x= 2

=> gibste las log(2)/log(1.1)=7.27 in den Taschenrechner ein.

Wenn du die Zeit gegeben hast und wissen willst wie hoch der Zinssatz ist oder wie viel das Kapital war musst du die x-te Wurzel ziehen.



PS: Bei der Aufgabe 3) darf man doch eigentlich nicht mit Celsius rechen, weil wenn man die Temperatur exponetiell betrachtet muss man doch mit Kelvin rechnen, oder?

[musikus]

[FSCM-Pilot]

natürlich....sry hab da was verwechselt

aber interessant, wie sensibel man auf solch einen Fehler aufmerksam gemacht wird