Gleichungssystem 3. Grades

[Steve82]

Moin,
habe ein Problem mit der Auflösung eines Gleichungssystems 3. Grades.

Folgende Gleichungen:
I A+17 = 0,5 * (a+1) * (h+3)
II A+22 = 0,5 * (a-1) * (h+6)
III A = 0,5 * a * h

Hintergrung ist die Seitenlängenberechnung eines Dreiecks. Gesucht sind a und h. Gegeben sind folgende Informationen:

Verlängert man a um 1 und h um 3 dann wird der Flächeninhalt um 17cm² größer (Gleichung I)

Verlängert man h um 6 und a um -1 dann ist der Flächeninhalt um 22cm² größer (Gleichung II)

Die dritte Gleichung ist die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. Das korrekte Ergebnis lautet
a =9
h=4

Kann mir jemand bitte Vorgehensweise bei der Auflösung dieses Gleichungssystem erklären und nochmal checken, ob die aufgestellten Gleichungen so stimmen? Vielen Dank schonmal im Voraus!!
_________________
BU 28.08.08 - check
FQ 20.11.08 - check
Medical 10.12.08 - check:-)
381.NFF

[Sicherheitssalamander]

Da beschäftigt sich jemand mitten in der Nacht mit Matheaufgaben. Sehr löblich!

Das Gleichungssystem, wie du es aufgestellt hast, stimmt!

Zur Lösung: Da gibt es mehrere Möglichkeiten! Du kannst prinzipiell Gleichungen addieren, subtrahieren und eine ganze Gleichung mit einer Zahl multiplizieren.

Bei so einfachen Gleichungssystemen ist es meiner Meinung nach am einfachsten sich nicht zu viele Gedanken zu machen. Einfach zwei Gleichungen nach jeweils einer Unbekannten umstellen und in die dritte einsetzen. Nur darauf achten welche Variablen gesucht sind

[Idaho]

Ich weiß nicht, ob es auch einfacher geht, aber dieser Weg führt auf jeden Fall zum Ziel:

Zuerst musst du eine Gleichung umformen, ich habe mit der III. angefangen und nach a umgeformt:

III) A = 0,5*a*h
A*2/h = a

Dann machst du mit der zweiten weiter und ersetzt dann dort das a. Jetzt hast du nur noch zwei Unbekannte und vereinfachst die Gleichung so weit wie möglich:

II) A+22 = 0,5*(a-1)*(h+6)
A = 0,5*(a-1)*(h+6) -22

a ersetzen:

A = 0,5*(A*2/h-1)*(h+6) -22
A = (A/h - 0,5)*(h+6) - 22
A = A + 6*A/h - 0,5*h - 3 - 22
0 = 6*A/h - 0,5*h - 25

Bei der letzten Gleichung verfährst du wie bei der zweiten und erhältst am Ende wie bei der zweiten auch eine Gleichung in der noch A und h vorkommen.

I) A + 17 = 0,5*(a+1)*(h+3)

a ersetzen:

A + 17 = 0,5*(A*2/h +1)*(h+3)
A + 17 = (A/h + 0,5)*(h+3)
A + 17 = A + 3*A/h + 0,5*h + 1,5
0 = 3*A/h + 0,5*h - 15,5
3*A/h = -0,5 * h + 15,5

Jetzt setzt du die vereinfachte I. Gleichung in die vereinfachte II. Gleichung ein. Denk dir einfach 6*A/h = 2*(3*A/h):

0 = 2*(-0,5*h+15,5) - 0,5*h -25
0 = -h + 31 -0,5*h -25
0 = -1,5*h + 6
1,5*h = 6
h = 4

Um das a zu erhalten, setzt du die III. Gleichung einfach noch in die zweite ein (für h direkt 4 einsetzen):

III) A = 0,5*a*4 = 2*a
II) A+22 = 0,5*(a-1)*(4+6) = 5*(a-1)

2*a + 22 = 5*(a-1)
2*a + 22 = 5*a - 5
27 = 3*a
a = 9
_________________
371. NFF

"When once you have tasted flight, you will forever walk the earth with your eyes turned skyward, for there you have been, and there you will always long to return."

[Aussie_Flo]

kommen bei der BU denn überhaupt Gleichungssysteme mit mehr als zwei Variablen dran? So eine Aufgabe in 2 Minuten zu lösen fänd ich nämlich schon sehr krass...

[Idaho]

Ich kann mich nicht dran erinnern so was gehabt zu haben, aber meine Hand würde ich dafür nicht ins Feuer legen. Im Notfall kann man so eine Aufgabe ja auch überspringen und am Ende lösen, wenn man noch Zeit hat.
_________________
371. NFF

"When once you have tasted flight, you will forever walk the earth with your eyes turned skyward, for there you have been, and there you will always long to return."

[Jerrylito]

Was auch noch möglich wär, du stellst nur die ersten beiden Gleichungen auf, ohne A (einfach minus A in den Gleichungen I und II)

dann hast:
I) 1/2 * (a+1) * (h+3) = 17
II) 1/2 * (a-1) * (h+6) = 22

dann beide mal 2

I) (a+1) * (h+3) = 34
II) (a-1) * (h+6) = 44

Rest: trivial -->auflösen, (a*h kürzt sich ja weg, usw.)
Man hat somit nur 2 gleichugen und 2 Variablen, demnach weniger rechenarbeit

Gruß
_________________
Always go where the huskies go, but never eat the yellow Snow-((Hey Oh)) - Red Hot Chili Peppers

[Sicherheitssalamander]

ahem...

du kannst nicht einfach irgendeine Unbekannte aus einer Gleichung subtrahieren. Dann bekommst du ein völlig anderes Ergebnis. Du kannst nur ganze Gleichungen voneinander subtrahieren.

[Jerrylito]

[Sicherheitssalamander]

Du hast das Gauß'sche Eliminationsverfahren leider überhaupt nicht verstanden mein Freund!

Das die Lösung bei dir die Gleiche ist, ist pures Glück. Dein zweiter Fehler kompensiert zufällig deinen ersten.

Ich schreibe morgen mal genauer wo deine Fehler liegen.

[Jerrylito]

sorry my bad, bin irgendwie durcheinander gekommen...oben wars inner Essenz richtig, allerdings war die Darstellung falsch:

I) 1/2 * (a+1) * (h+3) = A + 17
II) 1/2 * (a-1) * (h+6) = A + 22->das waren ja die Ausgangsgleichungen

ausmultiplizieren:
I) (1/2*a + 1/2) * (h+3) = A + 17
II) (1/2*a - 1/2) * (h+6) = A + 22

weiter ausmultiplizieren
I) 1/2*ah + 3/2*a + 1/2*h + 3/2 = A + 17
II) 1/2*ah + 3*g - 1/2*h - 3 = A + 22

dann minus A (bzw. 1/2*ah):
I) 3/2*a + 1/2*h + 3/2 = 17
II) 3*a - 1/2*h - 3 = 22

beide mal 2:
I) 3*a + h + 3 = 34
II) 6*a - h - 6 = 44

et voila, dann weiterrechnen wie oben....wie gesagt, habe den Zwischenschritt mit ausmultipliziern übersprungen bzw dort total vergessen, argumentation oben stimmt natürlich dann au nich, will oben nix gesagt haben^^...einfach mit diesem Verfahren hier verfahren
_________________
Always go where the huskies go, but never eat the yellow Snow-((Hey Oh)) - Red Hot Chili Peppers