Physik Frage

[Malve]

Frage:
Wer trägt welches Gewicht?

[matze01]

Da wüsste ich auch mal gerne ... hab nichtmal ansatzweise nen Plan wie man da drauf kommen soll

ich hätt jetzt gesagt, dass der erste 20 trägt und der zweite 40
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BU - 30.09/01.10 2010 --> negativ
IP - 01.03.2011 --> negativ

[Trimair]

Ah sowas in die Art haben wir letztes Jahr in Technologie gemacht, moment ich schau mal kurz in die Schulsachen....

[Trimair]

[Schienenschreck]

Achtung, es folgt die wahrscheinlich komplizierteste Lösung.

Das Ganze ist modellhaft ein Hebelarm mit einem Träger als Drehpunkt und einen Träger als Drehmomentausgleich.

Schritt 1: Drehmomente rausfinden.

Das Objekt wiegt 10 kg/m.
Der Einfachheit halber rechne ich mit Massen statt Kräften.
Ein Drehmoment ergibt sich mit r * m. Also z.B. 10kg * 1m.
Der Hebel hat aber keine festen "Klötzchen" hängen - man kann also nicht einfach (1m * 10kg) + (2m *10kg) + ... rechnen, daher muss man sich anders helfen, um das Drehmoment zu bestimmen.

Die rechte Seite geht vom Drehpunkt aus 2 m weit.

Drehmoment rechts:

Die linke Seite 4 m weit.

Drehmoment links:

Drehmomente also: 80 kg m zu 20 kg m.

Schritt 2: Mit wie viel Kraft muss man entgegenwirken, damit der Hebel ausgeglichen ist?

80 kg m - 20 kg m = 60 kg m

Wie gleicht man nun 60 kg m durch den äußeren Träger aus?
r = 4 m
x * 4 m = 60 kg m
x = 15 kg
Also muss der Träger außen 15 kg tragen.

Schritt 3: Was ist mit dem inneren Träger?
Möglichkeit 1: Logik.
Der eine trägt 15 kg von 60 kg, also trägt der andere 45 kg.

Möglichkeit 2: Hebelgesetz.
Der Drehpunkt trägt Kraftarm und Lastarm.
Also: (40 kg - 15 kg) + 20 kg = 45 kg
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[reik]

@Schienenschreck Ein etwas unkonventioneller Weg der bei schwierigeren Gebilden schwerlich zum Ziel führen wird und wenn mit hoher Fehlerquote.

Begründung ohne Integrale:

Das Gewicht der Stange lässt sich als eine Streckenlast interpretieren. Beispielsweise wäre das Gewicht eines Daches so eine Streckenlast und der Schnee welcher im Winter dadrauf liegt ebenfalls. Im Falle eines solchen 2-Dimensionalen Gebildes wie einer Stange, handelt es sich um eine lineare Streckenlast, die Verteilung ist also konstant. Die Begriffe sind dabei schon sorgfältig gewählt, denn tatsächlich interpretiert man dies in der Statik und elementaren Festigkeitslehre als Funktionen, deren Funktionswerte die am jeweiligen Ort wirkende Last wiedergeben. Dementsprechend ist die Summation der Gesamtfläche unter jenen, als Graph interpretierten Streckenlasten, die Gesamtlast welche wirkt.
Um sich dieses Problem zu vereinfachen, versucht man, diese Streckenlasten durch eine einzige resultierende Kraft zu ersetzen. Anders formuliert, ich habe eine Stange mit konstanter Streckenlast, an welchem Ort könnte ich meinen Finger unter der Stange positionieren und wie viel Kraft würde ich benötigen um die Stange im Gleichgewicht zu halten. Es handelt sich hierbei um den Schwerpunkt der Stange. Was ist die Eigenschaft des Schwerpunktes eines Körpers? Die Summe aller wirkenden Momente ist dort null, der Mechaniker nennt dies auch gerne statische Momente 1. Ordnung. Ich habe hier mal ein Bild gegooglet:



Man erkennt auf der linken Seite die konstante Streckenlast, welche für deine Frage von Bedeutung ist. Rechts daneben sieht man eine linear ansteigende Streckenlast. In beiden Fällen ist dort die resultierende Kraft F_R, welche im Betrag der Gesamtkraft der Streckenlast entspricht sowie im Schwerpunkt angetragen wurde. Bei der Streckenlast sieht man, dass der Schwerpunkt genau in der Mitte ist. Das ist absolut intuitiv. Eine Stange welche gleichmäßig verteilte Masse hat, hält man genau in der Mitte fest und sie fällt nicht herunter. Was ist nun aber der Betrag der resultierenden Kraft? Der Betrag entspricht der Fläche unter dem Graphen. Bei komplizierteren Gebilden bzw. bei Balkenbiegung und Biegemomenten (Theorie zweiter Ordnung) bedient man sich dort der Integralrechnung, jedoch ist das bei einfachen geometrischen Gebilden leicht zu umgehen. Für die Stange in deinem Beispiel hast du eine konstante Streckenlast q(x)=q_0=10 kg/m gegeben. Diese Streckenlastfunktion q(x) ordnet also jedem x die Kraft q_0 zu. Wunderbar ... was ist also die Gesamtlast der Streckenlast? Es ist einfach die Fläche des Rechtecks, nämlich q_0*l=10 kg/m*6m=60kg. Die Gesamtlast beträgt also 60 kg. Der Schwerpunkt der Stange befindet sich genau bei l/2=3m. Damit hat man das ganze wesentlich vereinfacht. Nun lässt sich das ganze durch einfache Statik lösen. Bildet man beispielsweise die Summe aller Momente um den linken Punkt der Stange so erhält man:

(P_1 ist die linke Person und P_2 die rechte. Weil die Momente um den linken Punkt gebildet werden, geht die Kraft P_1 nicht mit ein [kein Hebelarm])
M_Gesamt=0
0=P_2 * 4m - 60kg * 3m
P_2=3/4 * 60 kg=45 kg.

Für die zweite Kraft kann man genauso argumentieren wie das Schienenschreck getan hat. 60 kg - 45 kg = 15 kg = P_1. Dies ist nichts anderes als die statische Bedingung, die Summe alle Kräfte in y-Richtung sei null (soll sich ja nichts bewegen, also keine resultierenden Kräfte wirken). Man hätte also 0=P_1+P_2-60kg bzw. 60kg-P_2=P_1 also 60kg-45kg=15kg. Ich hoffe das war ein wenig detailierter erklärt um auch schwerere Aufgaben lösen zu können.

Grüße

[matze01]

HI Reik,

dein Lösungsvorschlag ist mit soweit klar bis:
0=P_2 * 4m - 60kg * 3m

Der Teil P_2 * 4m ist mir klar. Aber woher kommen 60kg * 3m?
Wieso 60Kg und wieso 3Meter?
Wo kommt das her - ich glaub ich steh auf'm Schlauch.
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[reik]

60 kg ist die Ersatzkraft der Streckenlast (sie wird also durch einen einzigen Kraftvektor ersetzt). Die Streckenlast ist mit 10 kg/m angegeben, dies auf einer Stangenlänge von 6 m sind 10 kg/m*6m=60kg. Dies ist also die Fläche unter dem Graphen der konstanten Funktion mit Funktionswert 10 bzw. die Aufsummierung jedes infiniten Kraftvektors mit Betrag 10 über die ganze Stange. Nun hat man also die Gesamtlast und kann diese durch einen resultierenden Kraftvektor mit Betrag der Gesamtlast der Streckenlast ersetzen. Damit der Ersatz aber auch wirklich äquivalent ist, kann man den Vektor nicht an einem beliebigen Ort antragen sondern muss dies im Schwerpunkt der Last machen. Das ist der Punkt in dem du dir die ganze Kraft konzentriert vorstellen kannst ohne die Wirkung der Gesamtstreckenlast zu verändern, bzw. die Stelle wo du die Stange halten könntest ohne das sie runterfällt bzw. da, wo die Summe aller Momente links und rechts von deinem Haltepunkt sich zu Null ergeben. Mathematisch schreibt man dies als das Integral (Summe über n-Kraftvektoren):

x_s*H=Int[x*q_0dx] von null über ganz l

x_s ist die Koordinate zum Schwerpunkt den wir finden wollen, H ist die Haltekraft und ist im Betrag gleich der Gesamtlast der Streckenlast die wir bereits errechnet haben, x*q_0 dx ist die Kraft q(x)=q_0=konst. am Ort x ist und x ist der Abstand jedes infiniten Kraftvektors der aus der Streckenlast resultiert (Man summiert also das Moment jedes Kraftvektors der Flächenlast über die ganze Länge der Stange auf). Bildlich also drücken oberhalb der Stange viele Kraftvektoren mit Betrag q_0 und dem Hebelarm x und du verschiebst unterhalb der Stange deinen Finger solange bis die Stange nicht mehr kippen möchte (Summe der Momente null sind). Die Lösung der Gleichung ist dann:

x_s=Int[x*q_0dx,x=0..l] / H = q_0*l^2/2 / H = 10 kg/m*6m^2/2 / 60kg = 3m.

Der Schwerpunkt der konstanten Last ist also genau in der Mitte. Das sieht man hier eigentlich sofort und braucht nichts berechnen. Auf 0=P_2 * 4m - 60kg * 3m komme ich dann, weil ich die Momente bzgl. des linken Punktes der Stange ermittle. Der Drehpunkt kann beliebig gewählt werden weil das System sich ja in Ruhe befindet und unabhängig vom Ort die Momente sich zu null ergeben müssen. Man legt sich den Drehpunkt also am besten so, dass bei schwierigeren Problemen Kräfte wegfallen und nicht in die Berechnung einfließen (hier fällt beispielsweise P_1 raus).
Wieso 60Kg und wieso 3Meter? Dies ist genauso wie P_1 und P_2 nur noch die resultierende Kraft F_r der Streckenlast am Schwerpunkt. Wenn man am linken Punkt der Stange die Momente berechnet, dann ist der Hebelarm dieser Kraft genau 3m.